Direkter Beweis
Ein direkter Beweis ist die unmittelbarste Beweismethode in der Mathematik. Hier geht man von den gegebenen Voraussetzungen aus und argumentiert Schritt für Schritt bis zu der zu zeigenden Schlussfolgerung.
Jeder Schritt stützt sich auf bekannte Regeln, Definitionen oder bereits bewiesene Ergebnisse.
Die Methode eignet sich besonders gut, wenn man mit Aussagen der Form "wenn ... dann ..." arbeitet.
Man beginnt damit, die Bedingung als erfüllt anzunehmen, und zeigt dann logisch, dass die Schlussfolgerung folgen muss. Auf diese Weise gleicht ein direkter Beweis einer Argumentkette, bei der jedes Glied natürlich aus dem vorherigen folgt.
Vorgehensweise
Bei einem direkten Beweis kann man die Arbeit oft in drei Schritte gliedern:
1. Annehmen, dass die Voraussetzungen wahr sind.
2. Definitionen, Regeln und bekannte Sätze verwenden, um neue Ergebnisse abzuleiten.
3. Fortfahren, bis die behauptete Schlussfolgerung gezeigt ist.
Beispiel 1
Wir wollen beweisen, dass die Summe zweier ungerader Zahlen immer gerade ist. Schreiben wir die Zahlen in der Form \( \large 2a+1 \) und \( \large 2b+1 \). Dann erhalten wir:
$$ \large (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1) $$
Das Ergebnis kann als 2 mal eine ganze Zahl geschrieben werden, also eine gerade Zahl. Damit ist die Aussage direkt bewiesen.
Beispiel 2
Wir wollen beweisen, dass das Produkt zweier gerader Zahlen immer durch 4 teilbar ist. Schreiben wir die Zahlen als \( \large 2m \) und \( \large 2n \). Dann gilt:
$$ \large (2m)\cdot(2n) = 4mn $$
Da der Ausdruck als 4 mal eine ganze Zahl geschrieben werden kann, ist er immer durch 4 teilbar. Damit ist die Aussage durch direkten Beweis gezeigt.
Beispiel 3
Wir wollen beweisen, dass wenn zwei Zahlen beide durch 3 teilbar sind, dann auch ihre Summe durch 3 teilbar ist. Schreiben wir die Zahlen als \( \large 3x \) und \( \large 3y \). Dann erhalten wir:
$$ \large 3x + 3y = 3(x+y) $$
Die Summe ist ein Vielfaches von 3 und somit durch 3 teilbar. Die Aussage ist also direkt bewiesen.
Direkte Beweise geben ein klares und intuitives Verständnis dafür, warum eine Aussage wahr ist. Die Methode ist zugleich die Grundlage für viele andere Beweistechniken, die auf derselben Idee aufbauen: dass logische Regeln die Voraussetzungen mit der Schlussfolgerung verbinden können.