Rechenregeln für Grenzwerte

Bei der Arbeit mit Grenzwerten kann es schnell kompliziert werden, sie direkt aus der Definition zu berechnen. Zum Glück gibt es eine Reihe einfacher Rechenregeln, mit denen sich viele Grenzwerte ohne lange Herleitungen bestimmen lassen. Diese Regeln ähneln den bekannten Rechenregeln der Algebra.

 

 

Summe und Differenz

Wenn zwei Funktionen an derselben Stelle einen Grenzwert besitzen, kann man ihre Grenzwerte addieren oder subtrahieren:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $$

 

Das bedeutet, dass man jeden Grenzwert einzeln berechnen und anschließend die Addition oder Subtraktion auf die Ergebnisse anwenden kann.

 

 

Produkt

Der Grenzwert eines Produkts ist das Produkt der Grenzwerte:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Man multipliziert also die beiden Grenzwerte, sofern beide existieren und endlich sind.

 

 

Quotient

Für einen Bruch gilt, dass der Grenzwert durch getrenntes Betrachten von Zähler und Nenner gefunden werden kann, solange der Grenzwert des Nenners nicht null ist:

 

$$ \large \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{wenn } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 $$

 

Wenn der Grenzwert des Nenners null ist, muss der Ausdruck genauer untersucht werden, da unendliche Grenzwerte oder 0/0-Situationen auftreten können, die eine Umformung oder Faktorisierung erfordern.

 

 

Konstante mal Funktion

Eine Konstante kann immer vor das Grenzzeichen gezogen werden:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) $$

 

Das erleichtert viele Ausdrücke, da man Faktoren, die nicht von x abhängen, vernachlässigen kann.

 

 

Potenzen und Wurzeln

Wenn die Funktion einen Grenzwert besitzt, kann man Potenzen und Wurzeln direkt auf das Ergebnis anwenden:

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right)^n $$

$$ \large \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} $$

 

Diese Regeln gelten, solange die resultierende Potenz oder Wurzel definiert ist (z. B. darf man im Reellen keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen).

 

 

Verbundene Funktionen

Wenn eine Funktion aus einer anderen zusammengesetzt ist, kann der Grenzwert berechnet werden, indem man zuerst den Grenzwert der inneren Funktion bestimmt und das Ergebnis in die äußere einsetzt:

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\!\left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Dies gilt jedoch nur, wenn f an der Stelle stetig ist, die g(x) annähert.

 

 

Beispiele

1. Berechne den Grenzwert:

 

$$ \large \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4) $$

 

Hier kann man einfach x = 2 einsetzen, da Polynome stetig sind:

 

$$ \large 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 12 - 10 + 4 = 6 $$

 

2. Berechne den Grenzwert:

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

 

Direktes Einsetzen ergibt 0/0, daher formt man den Ausdruck durch Faktorisierung um:

 

$$ \large \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 $$

 

und somit

 

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$

 

 

So können die Rechenregeln genutzt werden, um Grenzwerte effizient zu vereinfachen und zu berechnen.

 

 

Zusammenfassung

Die Rechenregeln für Grenzwerte ermöglichen es, mit Grenzwerten fast wie mit gewöhnlichen Zahlen zu rechnen. Sie gelten für alle Funktionen, deren Grenzwerte existieren, und bilden die Grundlage für die meisten Berechnungen in der Analysis.