Grenzwerte und Stetigkeit

In der Analysis geht es oft darum, zu beschreiben, wie sich Funktionen verhalten, wenn man sich bestimmten Punkten nähert oder wenn x gegen unendlich wächst. Um darüber zu sprechen, verwenden wir die Begriffe Grenzwert und Stetigkeit.

 

 

Was ist ein Grenzwert?

Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn x immer näher an einen bestimmten Punkt heranrückt. Auch wenn die Funktion an diesem Punkt keinen exakten Wert hat, kann der Grenzwert dennoch existieren.

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(x) = L $$

 

Das bedeutet, dass sich der Funktionswert der Zahl L nähert, wenn x gegen a geht.

 

Man kann auch von linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert sprechen, je nachdem, von welcher Seite man sich a nähert. Wenn beide Grenzwerte gleich sind, sagt man, dass die Funktion an diesem Punkt einen endlichen Grenzwert besitzt.

 

Grenzwerte werden verwendet, um das Verhalten in der Nähe von Sprüngen, Lücken oder unendlichem Wachstum von Funktionen zu beschreiben. Sie spielen daher eine zentrale Rolle in der Differential- und Integralrechnung.

 

 

Beispiele für Grenzwerte

Ein einfaches Beispiel ist die Funktion \( \large f(x) = 2x + 1 \). Wenn x gegen 3 geht, kann man den Grenzwert direkt berechnen:

 

$$ \large \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 $$

 

Das bedeutet, dass sich die Funktion dem Wert 7 nähert, wenn x sich 3 annähert. Hier ist die Funktion auch an diesem Punkt definiert, sodass der tatsächliche Wert und der Grenzwert übereinstimmen.

 

Manchmal ist die Funktion jedoch an einem Punkt nicht definiert, obwohl der Grenzwert existiert. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion

 

$$ \large f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

 

Man kann x = 3 nicht direkt einsetzen, da der Nenner null wäre. Wenn man den Ausdruck jedoch kürzt, erhält man

 

$$ \large f(x) = x + 3 \quad \text{für } x \neq 3 $$

 

und somit gilt

 

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$

 

Obwohl die Funktion bei x = 3 nicht definiert ist, existiert der Grenzwert. Grafisch entspricht das einer kleinen „Lücke“ im Punkt (3, 6).

 

 

Grenzwerte im Unendlichen

Man kann auch untersuchen, wie sich eine Funktion verhält, wenn x unbegrenzt wächst. Zum Beispiel:

 

$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

 

Das bedeutet, dass \( \frac{1}{x} \) immer kleiner wird, je größer x wird, und sich schließlich null annähert. Auf ähnliche Weise kann man Funktionen beschreiben, die gegen unendlich wachsen.

 

 

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig in einem Punkt, wenn es an dieser Stelle keinen „Sprung“ in der Grafik gibt. Genauer gesagt müssen Grenzwert und tatsächlicher Funktionswert gleich sein:

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

 

Das bedeutet, dass der Graph gezeichnet werden kann, ohne den Stift abzusetzen. Wenn der Grenzwert nicht existiert oder die Funktion über einen Punkt springt, ist sie dort nicht stetig.

 

Stetigkeit ist eine wichtige Eigenschaft, weil sie sicherstellt, dass sich die Funktion gleichmäßig verändert. Viele Sätze der Analysis — wie der Zwischenwertsatz und die Differenzierbarkeit — setzen Stetigkeit voraus.

 

 

Bedeutung in der Analysis

Grenzwerte und Stetigkeit bilden die Grundlage der gesamten Analysis. Sie sind die Voraussetzung für die Definition der Ableitung, die Geschwindigkeiten und Steigungen beschreibt, und später des Integrals, das Flächen und Summen beschreibt.

 

In den folgenden Themen wird gezeigt, wie man Grenzwerte systematisch mithilfe von Rechenregeln bestimmt und wie man spezielle Fälle analysiert, in denen Grenzwerte zu unendlichen oder undefinierten Ergebnissen führen.

 

Wer sowohl Grenzwerte als auch Stetigkeit versteht, erhält ein klares Bild davon, wie sich Funktionen verhalten, und damit die Grundlage für die gesamte weitere Analysis.