Uligheder med absolutværdi
En ulighed med absolutværdi handler om afstanden til 0. Husk at den absolutte værdi af et tal altid er større end eller lig med 0.
Definitionen er:
$$ \large |x| = \begin{cases} x & \text{hvis } x \geq 0 \\ -x & \text{hvis } x < 0 \end{cases} $$
Eksempel 1
Vi ser på uligheden:
$$ \large |x| < 3 $$
Her spørger vi: Hvornår ligger \( \large x \) mindre end 3 enheder fra 0?
Svaret er alle tal mellem -3 og 3:
$$ \large -3 < x < 3 $$
Eksempel 2
Vi ser nu på:
$$ \large |x+1| > 2 $$
Her betyder det, at afstanden fra \( \large x \) til -1 skal være større end 2.
Det giver to mulige intervaller:
$$ \large x+1 < -2 \quad \text{eller} \quad x+1 > 2 $$
Altså:
$$ \large x < -3 \quad \text{eller} \quad x > 1 $$
Eksempel 3
Vi ser på uligheden:
$$ \large |2x-4| \leq 6 $$
Her skal udtrykket ligge højst 6 enheder fra 0. Det omskrives til:
$$ \large -6 \leq 2x-4 \leq 6 $$
Vi løser trin for trin:
$$ \large -6+4 \leq 2x \leq 6+4 $$
$$ \large -2 \leq 2x \leq 10 $$
$$ \large -1 \leq x \leq 5 $$
Eksempel 4 (ingen løsning)
Nogle gange har en absolutværdiulighed ingen løsning. F.eks.:
$$ \large |x+2| < -1 $$
Men en absolutværdi kan aldrig være negativ, så denne ulighed har ingen løsning.
Generel metode
- Sæt uligheden op med absolutværdi.
- Omskriv til en sammensat ulighed (ved "<" eller "≤") eller til to adskilte uligheder (ved ">" eller "≥").
- Løs ulighederne trin for trin.
- Kontroller resultatet ved at indsætte prøvetal.
- Husk: En absolutværdi kan aldrig være negativ. Hvis uligheden kræver det, findes der ingen løsning.
Opsummering
- Uligheder med absolutværdi handler om afstand til 0 eller et andet punkt.
- Ved "<" eller "≤" får man typisk et interval.
- Ved ">" eller "≥" får man typisk to adskilte intervaller.
- Nogle gange findes der ingen løsning.