Sammensatte uligheder
En sammensat ulighed består af to uligheder, som er sat sammen til én samlet betingelse. I stedet for kun at sige, at en ubekendt er større eller mindre end et tal, kan vi begrænse den til at ligge mellem to grænser.
Eksempel
En klassisk sammensat ulighed kunne se sådan ud:
$$ \large 1 < x < 5 $$
Her betyder det, at \( \large x \) skal være større end 1 og samtidig mindre end 5. Løsningen er altså alle tal mellem 1 og 5.
To typer af sammensatte uligheder
Og-uligheder (intersection): hvor begge betingelser skal være opfyldt samtidig. F.eks.
$$ \large x > 0 \; \text{og} \; x < 10 $$
Eller-uligheder (union): hvor det er nok at opfylde den ene betingelse. F.eks.
$$ \large x < -2 \; \text{eller} \; x > 3 $$
Løsning af sammensatte uligheder
For at løse en sammensat ulighed arbejder man trin for trin med begge sider på samme måde som ved en almindelig ulighed.
Eksempel:
$$ \large 2 < 3x + 1 < 8 $$
Vi trækker 1 fra overalt:
$$ \large 2 - 1 < 3x < 8 - 1 $$
$$ \large 1 < 3x < 7 $$
Divider med 3 overalt:
$$ \large \frac{1}{3} < x < \frac{7}{3} $$
Løsningen er altså alle tal mellem \( \large \frac{1}{3} \) og \( \large \frac{7}{3} \).
Eksempel med "eller"
Hvis vi har en ulighed som:
$$ \large x \leq -4 \quad \text{eller} \quad x > 2 $$
Så betyder det, at løsningen består af to intervaller: alle tal mindre end eller lig med -4, eller alle tal større end 2. Her er det ikke sammenhængende, men to adskilte intervaller.
Opsummering
- Sammensatte uligheder kombinerer to uligheder til én samlet betingelse.
- De kan enten være "og"-uligheder (begge betingelser skal opfyldes) eller "eller"-uligheder (det er nok at opfylde den ene).
- De løses ved at bearbejde begge sider på samme måde som en almindelig ulighed.
- Løsningen er ofte et interval – eller flere intervaller.