Andengradsuligheder

En andengradsulighed er en ulighed, hvor den ubekendte indgår i anden potens.

Det ligner en andengradsligning, men i stedet for et lighedstegn bruger vi et ulighedstegn.

Eksempel

Vi ser på følgende ulighed:

$$ \large x^2 - 4 < 0 $$

Her spørger vi: For hvilke værdier af $ \large x $ er $ \large x^2 - 4 $ mindre end 0?

Metode

For at løse en andengradsulighed finder vi først rødderne til den tilsvarende andengradsligning:

$$ \large x^2 - 4 = 0 $$

Dette giver:

$$ \large x = -2 \quad \text{eller} \quad x = 2 $$

De to rødder deler tallinjen i tre intervaller:

Interval 1: $ \large x < -2 $
Interval 2: $ \large -2 < x < 2 $
Interval 3: $ \large x > 2 $

Afgør hvor uligheden gælder

Vi vælger et prøvetal i hvert interval og ser, om uligheden er sand:

For $ \large x = -3 $:

$ \large (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad $ Ikke mindre end 0.

For $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 - 4 = -4 \quad $ Mindre end 0 = intervallet gælder.

For $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad $ Ikke mindre end 0.

Løsningen er derfor:

$$ \large -2 < x < 2 $$

Eksempel med diskriminant

Vi ser på uligheden:

$$ \large x^2 + x - 6 < 0 $$

Først finder vi diskriminanten:

$$ \large D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$

Rødderne til den tilsvarende andengradsligning er:

$$ \large x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} $$

$$ \large x = -3 \quad \text{eller} \quad x = 2 $$

Vi skal nu undersøge de tre intervaller:

For $ \large x = -4 $:

$ \large (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \quad $ Ikke mindre end 0.

For $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 + 0 - 6 = -6 \quad $ Mindre end 0 = intervallet gælder.

For $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \quad $ Ikke mindre end 0.

Løsningen er derfor:

$$ \large -3 < x < 2 $$

Eksempel med adskilte intervaller

Vi ser nu på uligheden:

$$ \large x^2 - 4 > 0 $$

Rødderne er de samme: $ \large x = -2 $ og $ \large x = 2 $. Tallinjen opdeles i de tre samme intervaller.

Vi tester igen:

For $ \large x = -3 $:

$ \large (-3)^2 - 4 = 5 \quad$ Større end 0 = intervallet gælder.

For $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 - 4 = -4 \quad$ Ikke større end 0.

For $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 - 4 = 5 \quad$ Større end 0 = intervallet gælder.

Løsningen er derfor to adskilte intervaller:

$$ \large x < -2 \quad \text{eller} \quad x > 2 $$

Eksempel uden løsning

Nogle andengradsuligheder har slet ingen løsning. Vi ser på:

$$ \large x^2 + 1 < 0 $$

Funktionen $ \large x^2 + 1 $ er altid mindst 1, fordi $ \large x^2 \geq 0 $. Den kan derfor aldrig blive mindre end 0.

Konklusion: Der findes ingen værdier af $ \large x $, som opfylder uligheden.

Generel metode

Sæt uligheden op på formen $ \large ax^2 + bx + c \; \lessgtr \; 0 $.
Find diskriminanten: $ \large D = b^2 - 4ac $.
Beregn rødderne til den tilsvarende andengradsligning.
Undersøg de intervaller, rødderne deler tallinjen i, for at afgøre hvor uligheden er sand.
Hvis diskriminanten er negativ, kan der være ingen løsninger (som i eksemplet uden løsning).

Opsummering

Andengradsuligheder ligner andengradsligninger, men løsningen er et interval eller flere intervaller.
Rødderne opdeler tallinjen i intervaller, som man tester med prøvetal.
Løsningen kan være ét interval, to intervaller eller slet ingen.
En negativ diskriminant kan vise, at der slet ikke findes løsninger.