Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden går ud på at isolere en af de ubekendte i den ene ligning og derefter indsætte dette udtryk i den anden ligning. På den måde får vi en ny ligning med kun én ubekendt, som vi kan løse. Når den første ubekendte er fundet, kan vi bagefter finde den anden.

 

Metoden kan bruges til alle ligningssystemer med to ubekendte, men kan være lidt mere omstændelig, hvis tallene er store eller grimme.

 

Vi har et ligningssystem med to ligninger:

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Her kan vi ikke udlæse værdien af \( \large x\) og \( \large y\) direkte, så vi er nødt til at finde den først.

Vi tager den øverste ligning og isolere \( \large x\):

 

$$ \large \begin{aligned} 8y-4x &=4 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y &=4+4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y-4 &=4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{8y-4}{4} &=\frac{4x}{4} \quad \Leftrightarrow \\[12pt] 2y-1 &=x \end{aligned}$$

 

Vi har nu et udtryk for værdien \( \large x\)

 

 

Find første ubekendte

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Vi sætter nu værdien for \(\large x\) ind i ligning 2

 

$$ \large 2y+4\color{red}{(2y-1)}=20 $$

 

Vi skal ophæve parentes, ved at gange den ud:

 

$$ \large \begin{aligned} 2y+8y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  10y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  \frac{10y-4}{10}&=\frac{20}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y-\frac{4}{10} &= 2 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y&= 2+ \frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y &= 2\frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow  \\[12pt]  y &= 2,4  \end{aligned} $$

 

 

Find anden ubekendte

Vi fandt jo ud af i første gennemregning, at:

 

$$ \large x=2y-1 $$

 

Vi fandt ud af at:

 

$$ \large y = 2,4 $$

 

Så nu kan vi sætte \(\large y\) ind i ligningen for \(\large x\):

 

$$ \large x=2y-1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=2\cdot 2,4 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=4,8 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=3,8 $$

 

Kontrol:

 

$$ \large 8\cdot2,4-4\cdot3,8=4 $$

$$ \large 2\cdot2,4+4\cdot3,8=20 $$

 

Begge er sande!

 

 

Bemærk: Substitutionsmetoden virker altid, men nogle gange viser den, at systemet ikke har en løsning eller har uendeligt mange:

 

• Hvis man ender med noget umuligt, fx \( \large 0 = 5 \), betyder det at systemet ikke har nogen løsning.
• Hvis man ender med noget trivielt, fx \( \large 0 = 0 \), betyder det at systemet har uendeligt mange løsninger.