Antal løsninger

Når der er præcis én løsning

Det mest almindelige er, at et ligningssystem har præcis én løsning. Det sker, når de to ligninger tilsammen giver et bestemt talpar for \( \large x \) og \( \large y \).

 

$$ \large x+y=10 $$

$$ \large x-y=2 $$

 

Ved at løse systemet (f.eks. med substitution eller elimination) finder vi:

 

$$ \large x=6, \quad y=4 $$

 

Systemet har altså præcis én løsning.

 

 

Når der er mange løsninger

Nogle ligningssystemer vil resultere i uendeligt mange løsninger:

 

$$ \large x+y = 20 $$

$$ \large 4x+4y=80 $$

 

Hvis vi bruger Lige Store Koefficienter, skal vi gange den øverste ligning med 4. Begge ligninger bliver ens:

 

$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$

$$ \large 4x+4y=80 $$

 

Når vi trækker de to ligninger fra hinanden, får vi:

 

$$ \large 0=0 $$

 

Det er sandt, og det betyder at alle værdier hvor \( \large x+y=20 \) er løsninger.

 

$$ \large x=5, \quad y=15 $$

$$ \large x=\frac{22}{2}, \quad y=\frac{18}{2} $$

 

Der er altså uendeligt mange løsninger.

 

 

Når der ikke er nogen løsning

Nogle ligningssystemer har slet ingen løsning:

 

$$ \large x+y = 20 $$

$$ \large 4x+4y=60 $$

 

Hvis vi bruger Lige Store Koefficienter, skal vi gange den øverste ligning med 4:

 

$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$

$$ \large 4x+4y=60 $$

 

Når vi trækker de to ligninger fra hinanden, får vi:

 

$$ \large 0=20 $$

 

Det er ikke sandt. Det betyder at uanset hvilke tal man sætter ind som \( \large x \) og \( \large y \), vil systemet aldrig kunne gå op.

Der er altså ingen løsning.

 

 

Opsummering

• Én løsning: Systemet giver ét bestemt resultat for \( \large x \) og \( \large y \).
• Mange løsninger: Begge ligninger viser sig at være den samme, så der findes uendeligt mange løsninger.
• Ingen løsning: Ligningerne modsiger hinanden, så der findes slet ingen løsning.