Puissance de dix et notation scientifique
La puissance de dix est une méthode pour écrire des nombres très grands et très petits de manière claire.
Au lieu d’écrire tous les zéros, on peut utiliser des puissances de dix et rendre les nombres courts et faciles à lire.
Grands nombres
Quand l’exposant est positif, on obtient de grands nombres. L’exposant indique combien de zéros se trouvent après le 1 :
$$ \large 10^2 = 100 $$
$$ \large 10^3 = 1 000 $$
$$ \large 10^6 = 1 000 000 $$
Exemple :
La distance jusqu’à la Lune est d’environ \(384 000 000 \,\text{m} = 3,84 \cdot 10^8 \,\text{m}\).
De la même manière, on peut écrire le nombre d’étoiles dans la Voie lactée. On estime qu’il y a environ \(100 000 000 000 = 1 \cdot 10^{11}\) étoiles.
Petits nombres
Les exposants négatifs sont utilisés pour écrire de petits nombres. L’exposant indique de combien de décimales le nombre se déplace :
$$ \large 10^{-1} = 0,1 $$
$$ \large 10^{-2} = 0,01 $$
$$ \large 10^{-4} = 0,0001 $$
Exemples :
Un cheveu humain mesure typiquement \(0,0001\,\text{m} = 1 \cdot 10^{-4}\,\text{m}\) d’épaisseur.
Le rayon d’un atome peut être d’environ \(0,00000000005\,\text{m} = 5 \cdot 10^{-11}\,\text{m}\).
Notation scientifique
Lorsque nous écrivons des nombres grands ou petits de cette manière, on appelle cela la notation scientifique. La forme est la suivante :
$$ \large a \cdot 10^b $$
Ici \(a\) est un nombre compris entre 1 et 10, et \(b\) est un entier. Exiger que \(a\) soit entre 1 et 10 garantit que le nombre est écrit de la façon la plus courte possible.
Exemple :
$$ \large 384 000 000 = 3,84 \cdot 10^8 $$
Règles
Les règles habituelles des puissances s’appliquent aussi aux puissances de dix :
$$ \large 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} $$
$$ \large \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n} $$
$$ \large (10^m)^n = 10^{m \cdot n} $$
Notation sur les calculatrices
Beaucoup de calculatrices et de programmes informatiques utilisent E (ou EE) au lieu de 10 dans la notation scientifique. L’exposant est écrit directement après le E :
$$ \large 3,84 \cdot 10^8 = 3,84E8 $$