Les puissances et les racines sont les deux faces d’une même médaille.

Une puissance décrit une multiplication répétée, tandis qu’une racine est l’opération inverse, où l’on cherche le nombre qui doit être multiplié par lui-même un certain nombre de fois pour donner un résultat.

Les deux notions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques – des calculs d’aires simples aux grands nombres dans des contextes scientifiques.

Puissances

Une puissance est une façon d’écrire une multiplication répétée. Au lieu de multiplier un nombre par lui-même plusieurs fois, on utilise un petit exposant au-dessus du nombre. Cela s’écrit ainsi :

$$ \large a^n = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a \ \ (n\ fois) $$

Exemple :

$$ \large 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $$

Cas particuliers

Il existe quelques règles importantes et utiles pour l’exposant :

• Puissance zéro : Pour tout nombre \(a \ne 0\), on a \(a^0 = 1\).
• Première puissance : Ici, \(a^1 = a\).
• Puissances négatives : Un exposant négatif signifie prendre la valeur réciproque. Par exemple : \(a^{-2} = \tfrac{1}{a^2}\).
• Fractions comme exposants : Un exposant fractionnaire relie puissances et racines. Par exemple : \(a^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{a}\) et \(a^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}\).

Racines

Les racines sont l’opération inverse des puissances. Si l’on sait que \(9^2 = 81\), alors la racine carrée de 81 est 9.

$$ \large \sqrt{81} = 9 $$

De la même manière, on peut prendre des racines cubiques (troisième racine), quartes, et ainsi de suite :

$$ \large \sqrt[3]{729} = 9 \quad \text{car } 9^3 = 729 $$

$$ \large \sqrt[4]{6561} = 9 \quad \text{car } 9^4 = 6561 $$

En général, on peut dire que la n-ième racine d’un nombre \(a\) est le nombre qui, multiplié par lui-même \(n\) fois, donne \(a\).

Lien entre puissances et racines

Il existe un lien étroit entre puissances et racines. En fait, toutes les racines peuvent s’écrire comme des puissances avec des exposants fractionnaires :

$$ \large \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} $$

$$ \large \sqrt[n]{a^m} = a^{\tfrac{m}{n}} $$

Applications

Les puissances et les racines sont utilisées dans toutes les mathématiques et les sciences. Quelques exemples :

• Aires et longueurs de côtés : Si l’aire d’un carré est 49, on peut trouver la longueur du côté en prenant la racine carrée : \( \large \sqrt{49} = 7\).
• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, \( \large a^2 + b^2 = c^2\). Si les cathètes \( \large a\) et \( \large b\) sont connues, l’hypoténuse \( \large c\) peut être calculée à l’aide d’une racine carrée : \( \large c = \sqrt{a^2 + b^2}\).
• Notation scientifique : Les grands ou petits nombres s’écrivent souvent comme des puissances de 10, par ex. \( \large 3,2 \cdot 10^5\).