Règles de calcul pour les fractions
Réduire une fraction
Si nous prenons notre fraction d’avant = \(\large \frac{2}{8}\)
Nous avons calculé que c’est la même chose que 25 %, ce que nous appelons normalement un quart = \(\large \frac{1}{4}\)
Les deux fractions sont donc égales, même si elles ne portent pas le même nom. C’est parce qu’on peut réduire une fraction.
On réduit une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Dans notre cas, on divise par 2 :
$$ \large \frac{2}{8} \Leftrightarrow \frac{2:2}{8:2}\;\Leftrightarrow \frac{1}{4} $$
Toutes les fractions ne peuvent pas être réduites. Par exemple, il n’est pas possible de trouver un diviseur commun pour \(\large \frac{7}{16}\)
Un exemple avec des nombres plus grands :
$$ \large \frac{15}{25} \Leftrightarrow \frac{15:5}{25:5}\;\Leftrightarrow \frac{3}{5} $$
Élargir une fraction
Tout comme on peut réduire une fraction, on peut aussi l’élargir.
La règle est la même, mais au lieu de diviser par un nombre, on multiplie par un nombre.
Si nous voulons élargir notre fraction en vingt-quatrièmes, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par 3 (parce que 8 fois 3 fait 24).
$$ \large \frac{2}{8} \Leftrightarrow \frac{2 \cdot 3}{8 \cdot 3}\;\Leftrightarrow \frac{6}{24} $$
Toutes les fractions peuvent être élargies, mais pas en n’importe quoi. Les seizièmes ne peuvent pas devenir des vingtièmes. Le plus proche est de multiplier par 2, ce qui donne des trente-deuxièmes. Avec 3, cela devient des quarante-huitièmes.
$$ \large \frac{7}{16} \Leftrightarrow \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3}\;\Leftrightarrow \frac{21}{48} $$
Élargir une fraction correspond à rendre le dénominateur un multiple du nombre original. Cela est souvent utilisé pour trouver un dénominateur commun.
Dénominateur commun
Si tu veux additionner ou soustraire, tu dois toujours trouver un dénominateur commun avant de commencer. Par exemple, si tu veux calculer ce qui suit, le dénominateur commun peut être 12, parce que 3 et 4 divisent 12.
$$ \large \frac{2}{3} + \frac{1}{4} $$
Si tu as du mal à trouver un dénominateur commun, tu peux multiplier les deux dénominateurs entre eux. Le résultat peut être utilisé comme dénominateur commun \(\large 3 \cdot 4 = 12\)
Les fractions sont élargies en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre. La première fraction est multipliée par 4 et la deuxième par 3. Tu as alors deux fractions avec le même dénominateur.
$$ \large \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $$
$$ \large \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $$
Tu peux maintenant additionner les deux fractions.
$$ \large \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12} $$
On choisit souvent le plus petit dénominateur commun, car il donne les fractions les plus simples à manipuler.
Addition et soustraction
Rappelle-toi toujours du dénominateur commun pour additionner et soustraire
Addition :
$$ \large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $$
Soustraction :
$$ \large \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $$
Lorsqu’on additionne, l’ordre n’a pas d’importance. \( \large a + c\) est la même chose que \( \large c + a\)
Mais lorsqu’on soustrait, c’est la même règle que toutes les autres soustractions. L’ordre doit être correct !
Multiplication et division
Tu n’as pas besoin de dénominateur commun pour multiplier et diviser
Multiplier des fractions :
$$ \large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$
Exemple : \(\large \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
Diviser des fractions :
$$ \large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$
Exemple : \(\large \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}\)
Remarque qu’en division, la deuxième fraction est inversée et multipliée avec la première.
Lorsqu’on multiplie, l’ordre n’a pas d’importance. \(\large a \cdot c\) est la même chose que \(\large c \cdot a\)
Mais lorsqu’on divise, l’ordre est important !
C’est la deuxième fraction qui est inversée. Tu ne dois jamais inverser la première fraction et c’est pourquoi il est important d’écrire le calcul dans le bon ordre.