Permutación (muestra ordenada) es un método en combinatoria donde el orden importa.

Lo opuesto son las combinaciones, donde el orden no importa.

 

Cuando extraemos elementos, puede ser sin reemplazo o con reemplazo:

 

Sin reemplazo:

Un elemento solo se puede usar una vez. Si sacas una bola de una bolsa y no la devuelves, no se puede volver a sacar.

 

Con reemplazo:

Un elemento se puede usar varias veces. Si sacas una bola de una bolsa pero la devuelves, se puede volver a sacar.

 

Cuando hablamos de permutaciones (muestras ordenadas), distinguimos entre elegir sin reemplazo o con reemplazo.

 

 

Muestra ordenada sin reemplazo

En un torneo de fútbol con 6 equipos debe haber un 1.º, 2.º y 3.º lugar.

 

¿De cuántas formas se pueden repartir las medallas?

 

La muestra es ordenada, porque importa qué equipo queda 1.º, 2.º y 3.º.

También es sin reemplazo, porque un equipo no puede ganar más de un lugar.

 

$$ \large P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{6!}{3!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{720}{6} $$

$$ \large Permutaciones\ = 120 $$

 

Así que hay 120 formas posibles de repartir las medallas.

 

 

Permutación completa

En el ejemplo de las medallas solo elegimos un subconjunto de los equipos, donde \( \large r < n \).

También se puede tener una permutación completa, donde se incluyen todos los elementos. En ese caso:

 

$$ \large P(n,n) = n! $$

 

Ejemplo: Los 6 equipos deben ponerse en fila:

 

$$ \large 6! = 720 $$

 

Así que hay 720 filas posibles.

 

 

Muestra ordenada con reemplazo

Si debes elegir un código para la cerradura de tu bicicleta con 4 dígitos, hay 10 números posibles (0-9) en cada elección.

Puedes elegir \( \large 5555 \), porque es con reemplazo. El mismo dígito puede usarse varias veces.

El orden también importa: \( \large 1234 \) no es lo mismo que \( \large 4321 \).

 

Debes elegir 4 dígitos, y hay 10 opciones (0-9) cada vez.

 

$$ \large Permutaciones\ = n^r $$

$$ \large Permutaciones\ = 10^4 $$

$$ \large Permutaciones\ = 10.000 $$

 

Así que hay 10.000 códigos posibles.

 

 

Resumen

Una permutación es una muestra ordenada, donde el orden importa.

 

• Sin reemplazo: Un elemento solo puede usarse una vez. Ejemplo: reparto de medallas en deportes.
• Con reemplazo: Un elemento puede usarse varias veces. Ejemplo: códigos PIN.
• Permutación completa: Se incluyen todos los elementos, y el número es \( \large n! \).

 

Las permutaciones se usan para contar posibles ordenaciones, y crecen muy rápidamente en número incluso para valores pequeños de \( \large n \).