El teorema binomial es un resultado importante en combinatoria y álgebra. Proporciona un método general para desarrollar una expresión de la forma \((x+y)^n\).

 

La fórmula se basa en combinaciones. Cada término del desarrollo corresponde a elegir cuáles factores serán \(x\) y cuáles serán \(y\).

 

 

Ejemplo con \( \large n=2 \)

Desarrollamos \((x+y)^2\):

 

$$ \large (x+y)^2 = (x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$

 

Los coeficientes delante de cada término son \( \large 1,2,1 \).

Porque:

• Hay 1 \( \large x^2 \)
• Hay 2 \( \large xy \)
• Hay 1 \( \large y^2 \)

 

 

Ejemplo con \( \large n=3 \)

Desarrollamos \((x+y)^3\):

 

$$ \large (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

 

Los coeficientes son \( \large 1,3,3,1 \).

 

 

Ejemplo con \( \large n=4 \)

Desarrollamos \((x+y)^4\):

 

$$ \large (x+y)^4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 $$

 

Los coeficientes son \( \large 1,4,6,4,1 \).

 

 

Triángulo de Pascal

Los coeficientes que obtenemos se pueden organizar en un triángulo llamado triángulo de Pascal:

 

 

$$ \large \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & 1 & & & & & & & \\ & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\ & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\ & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\ & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\ & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\ & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\ & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\ 1 & & 8 & & 28 & & 56 & & 70 & & 56 & & 28 & & 8 & & 1 \\ \end{array} $$

 

Cada fila corresponde a los coeficientes en \(\large (x+y)^n\).

 

 

La fórmula general

El teorema binomial dice en general:

 

$$ \large (x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r} $$

 

Aquí \(\large \binom{n}{r}\) es una combinación y muestra de cuántas formas se pueden elegir \(r\) factores de \(x\) de un total de \(n\).

 

 

Ejemplo con \( \large n=5 \)

El desarrollo de \((x+y)^5\) es:

 

$$ \large (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 $$

 

Los coeficientes \( \large 1,5,10,10,5,1 \) corresponden a la fila 5 del triángulo de Pascal.

 

 

Resumen

• El teorema binomial da un método para desarrollar \((x+y)^n\).
• Los coeficientes se encuentran en el triángulo de Pascal.
• Los coeficientes se dan mediante combinaciones: \(\large \binom{n}{r}\).

 

El teorema conecta álgebra, combinatoria y probabilidad, y es la base de la distribución binomial.