Potens og rod

Potenser og rødder er to sider af samme sag.

En potens beskriver gentagen multiplikation, mens en rod er den omvendte operation, hvor man finder det tal, der skal ganges med sig selv et bestemt antal gange for at give et resultat.

Begge begreber dukker op mange steder i matematik – fra simple arealberegninger til store tal i videnskabelige sammenhænge.

 

 

Potenser

En potens er en måde at skrive gentagen multiplikation på. I stedet for at gange et tal med sig selv mange gange, bruger man en lille eksponent ovenpå tallet. Det skrives sådan her:

 

$$ \large a^n = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a \ \ (n\ gange) $$

 

Eksempel:

 

$$ \large 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $$

 

 

Særlige tilfælde

Der er nogle vigtige og nyttige regler for eksponenten:

 

  • Nulte potens: For alle tal \(a \ne 0\) gælder, at \(a^0 = 1\).
  • Første potens: Her gælder \(a^1 = a\).
  • Negative potenser: En negativ eksponent betyder, at man tager den reciprokke værdi. Fx: \(a^{-2} = \tfrac{1}{a^2}\).
  • Brøker som eksponenter: En eksponent som brøk betyder, at vi forbinder potenser og rødder. Fx: \(a^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{a}\) og \(a^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}\).

 

 

Rødder

Rødder er den omvendte operation af potenser. Hvis vi ved, at \(9^2 = 81\), så er kvadratroden af 81 lig med 9.

 

$$ \large \sqrt{81} = 9 $$

 

På samme måde kan man tage kubikrødder (tredje rod), fjerde rod og så videre:

 

$$ \large \sqrt[3]{729} = 9 \quad \text{fordi } 9^3 = 729 $$

$$ \large \sqrt[4]{6561} = 9 \quad \text{fordi } 9^4 = 6561 $$

 

Generelt kan vi sige, at den n-te rod af et tal \(a\) er det tal, som ganget med sig selv \(n\) gange giver \(a\).

 

 

Sammenhæng mellem potenser og rødder

Der er en tæt forbindelse mellem potenser og rødder. Faktisk kan man skrive alle rødder som potenser med brøker i eksponenten:

 

$$ \large \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} $$

$$ \large \sqrt[n]{a^m} = a^{\tfrac{m}{n}} $$

 

 

Anvendelser

Potenser og rødder bruges overalt i matematik og naturvidenskab. Nogle eksempler:

 

  • Areal og sidelængder: Hvis arealet af et kvadrat er 49, kan man finde sidelængden ved at tage kvadratroden: \( \large \sqrt{49} = 7\).
  • Pythagoras’ sætning: I en retvinklet trekant gælder \( \large a^2 + b^2 = c^2\). Hvis man kender kateterne \( \large a\) og \( \large b\), kan hypotenusen \( \large c\) findes ved hjælp af en kvadratrod: \( \large c = \sqrt{a^2 + b^2}\).
  • Videnskabelig notation: Store eller små tal skrives ofte som potenser af 10, fx \( \large 3,2 \cdot 10^5\).

 

 

Formler

Potens

$$ a^{-n} = {1 \over a^n} $$

$$ a^n \cdot a^p = a^{n+p} $$

$$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $$

$$ {a^n \over a^p} = a^{n-p} $$

$$ {a^n \over b^n} = \bigl( {a \over b} \bigr)^n $$

$$ (a^n)^p = a^{n\ \cdot \ p} $$

$$ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} $$

$$ a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a} $$

$$ \sqrt[r]{a^p}=a^{\frac{p}{r}} $$

$$ 2a^2 = 2 \cdot a \cdot a $$

$$ (2a)^2 = (2a) \cdot (2a) = 4a^2 $$

Rod

$$ \sqrt {a \cdot b}\ =\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$

$$ \sqrt {a \over b}\ =\ {\sqrt{a} \over \sqrt{b} } $$

$$ \sqrt[m]{a}\cdot \sqrt[n]{a}=\sqrt[m \cdot n]{a^{m+n}} $$

$$ \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b}= \sqrt[m]{a\ \cdot \ b} $$

$$ \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m \cdot n]{a^{n-m}} $$

$$ \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} $$

$$ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} $$

$$ (\sqrt[n]{a})^m=a^{\frac{m}{n}} $$

$$ \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}} $$

$$ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\ \cdot \ n]{a} $$