Eliminationsmetoden

Eliminationsmetoden er også kendt som lige store koefficienters metode og går ud på at gøre koefficienterne foran en ubekendt ens i de to ligninger og derefter lægge eller trække ligningerne sammen, så den ubekendte forsvinder.

Tilbage står en ligning med kun én ubekendt, som vi kan løse.

 

I modsætning til substitutionsmetoden isolerer vi ikke en ubekendt direkte, men ændrer begge ligninger, så en ubekendt kan elimineres.

 

Koefficienter er de tal der står foran de ubekendte. F.eks. i denne ligning \(\large 8y-4x=4\). Her er 8 og 4 koefficienterne.

Vi tager de to ligninger fra tidligere:

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Vi skal have lige store koefficienter for en af de ubekendte, f.eks. \(\large y\). Det kan vi få ved at gange den nederste ligning med 4, så vil vi få \(\large 8y\), som vi har i den øverste ligning.

 

$$ \large \textcolor{red}{4\cdot}2y+\textcolor{red}{4\cdot}4x=\textcolor{red}{4\cdot}20 \Leftrightarrow $$

$$ \large 8y+16x=80 $$

 

Nu har vi to ligninger med to lige store koefficienter. Nemlig \(\large 8y\).

 

 

Trække ligninger fra hinanden

Nu skal de to ligninger, med lige store koefficienter, trækkes fra hinanden. Der gør vi sådan her:

 

$$ \large 8y-4x\textcolor{red}{-(8y+16x)}=4\textcolor{red}{-80} $$

 

Husk at sætte parentes, så der ikke opstår fortegnsfejl.

Vi ophæver minus-parentesen, så der skal ændres fortegn:

 

$$ \large 8y-4x-(8y+16x)=4-80 \Leftrightarrow $$

$$ \large 8y-4x-8y-16x=4-80 $$

 

Vi fortsætter med at isolere \(\large x\).

\(\large 8y\) forsvinder fordi \(\large 8y-8y=0\).

 

$$ \large \begin{aligned} -4x-16x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] -20x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{-20x}{20} &= \frac{-76}{20} \Leftrightarrow \\[12pt] -x &= -3,8 \Leftrightarrow \\[12pt] x &= 3,8 \end{aligned} $$

 

 

Find den anden ubekendte

Nu har vi fundet \(\large x\), så skal vi finde \(\large y\).

Det er ikke anderledes end de tidligere eksempler. Vi indsætter vores \(\large x\) i en af ligningerne og finder \(\large y\). Det er ligemeget hvilken af de to ligninger du bruger:

 

$$ \large \begin{aligned}2y+4x&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+4\cdot 3,8&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+15,2&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y&=20-15,2 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{2y}{2}&=\frac{4,8}{2} \Leftrightarrow \\[12pt] y&=2,4 \end{aligned} $$

 

 

Kontrol

Vi sætter løsningen ind i begge ligninger for at kontrollere:

 

$$ \large 8\cdot 2,4 - 4\cdot 3,8 = 4 $$

$$ \large 2\cdot 2,4 + 4\cdot 3,8 = 20 $$

 

Begge er sande, så løsningen er korrekt.

 

Bemærk: Eliminationsmetoden virker altid, men nogle gange viser den, at systemet ikke har en løsning eller har uendeligt mange:

 

• Hvis man ender med noget umuligt, fx \( \large 0 = 5 \), betyder det at systemet ikke har nogen løsning.
• Hvis man ender med noget trivielt, fx \( \large 0 = 0 \), betyder det at systemet har uendeligt mange løsninger.