Kombination (uordnet stikprøve) er en metode i kombinatorik, hvor rækkefølgen ikke betyder noget. Det modsatte er permutationer, hvor rækkefølgen har betydning.

 

Når vi laver kombinationer, skelner vi mellem uden tilbagelægning og med tilbagelægning.

 

 

Uordnet stikprøve uden tilbagelægning

Forestil dig et kortspil: Hvor mange forskellige 5-korts hænder kan man få fra et sæt på 52 kort?

 

Her er stikprøven uordnet, fordi det ikke betyder noget i hvilken rækkefølge kortene trækkes. Det er også uden tilbagelægning, fordi hvert kort kun kan bruges én gang.

 

$$ \large K(n,r) = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!} $$

$$ \large K(52,5) = \frac{52!}{(52-5)! \cdot 5!} $$

 

Resultatet er 2.598.960 mulige hænder i poker.

 

 

Uordnet stikprøve med tilbagelægning

Hvis du skal vælge to bogstaver fra mængden \(\{A, B, C, D, E\}\), og du må vælge det samme bogstav flere gange, så er det en uordnet stikprøve med tilbagelægning.

 

Det betyder at fx \(A,A\) er tilladt, og at \(A,E\) er det samme som \(E,A\), fordi rækkefølgen er ligegyldig.

 

$$ \large K(n,r) = \frac{(n-1+r)!}{(n-1)! \cdot r!} $$

$$ \large K(5,2) = \frac{(5-1+2)!}{(5-1)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = 15 $$

 

De 15 kombinationer er:

 

(A,A), (A,B), (A,C), (A,D), (A,E)
(B,B), (B,C), (B,D), (B,E)
(C,C), (C,D), (C,E)
(D,D), (D,E)
(E,E)

 

 

Bemærk: I Danmark ser man ofte kombinationer skrevet som \(\large K(n,r)\), hvor K står for Kombination. I international litteratur bruges oftere \(\large C(n,r)\) eller den binomiale notation:

 

$$ \large \binom{n}{r} $$

 

Her står \(n\) oven over \(r\) og læses som “n choose r” (vælg r ud af n).

 

 

Opsummering

En kombination er en uordnet stikprøve, hvor rækkefølgen ikke betyder noget.

 

• Uden tilbagelægning: Hvert element kan kun bruges én gang. Eksempel: pokerhænder ud af 52 kort.
• Med tilbagelægning: Det samme element kan vælges flere gange. Eksempel: valg af bogstaver hvor samme bogstav kan optræde flere gange.

 

Kombinationer bruges til at tælle hvor mange forskellige måder man kan vælge en mængde af elementer, når rækkefølgen er ligegyldig.