Binomialformlen er en vigtig sætning i kombinatorik og algebra. Den giver en generel metode til at udvikle et udtryk af formen \((x+y)^n\).

 

Formlen bygger på kombinationer. Hvert led i udviklingen svarer til at vælge, hvilke faktorer der bliver \(x\), og hvilke der bliver \(y\).

 

 

Eksempel med \( \large n=2 \)

Vi ganger \((x+y)^2\) ud:

 

$$ \large (x+y)^2 = (x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 $$

$$ \large (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$

 

Koefficienterne, der står foran hvert led, er \( \large 1,2,1 \).

Fordi:

• Der er 1  \(\large x^2 \)
• Der er 2  \(\large xy \) 
• Der er 1  \(\large y^2 \) 

 

 

Eksempel med \( \large n=3 \)

Vi ganger \((x+y)^3\) ud:

 

$$ \large (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

 

Koefficienterne er \( \large 1,3,3,1 \).

 

 

Eksempel med \( \large n=4 \)

Vi ganger \((x+y)^4\) ud:

 

$$ \large (x+y)^4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) $$

$$ \large (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 $$

 

Koefficienterne er \( \large 1,4,6,4,1 \).

 

 

Pascals trekant

Koefficienterne, vi får, kan organiseres i en trekant kaldet Pascals trekant:

 

 

$$ \large
\begin{array}{cccccccccccccccccc}
        &       &       &       &       &       &       &       & 1     &       &       &       &       &       &       &       \\
        &       &       &       &       &       &       & 1     &       & 1     &       &       &       &       &       &       \\
        &       &       &       &       &       & 1     &       & 2     &       & 1     &       &       &       &       &       \\
        &       &       &       &       & 1     &       & 3     &       & 3     &       & 1     &       &       &       &       \\
        &       &       &       & 1     &       & 4     &       & 6     &       & 4     &       & 1     &       &       &       \\
        &       &       & 1     &       & 5     &       & 10    &       & 10    &       & 5     &       & 1     &       &       \\
        &       & 1     &       & 6     &       & 15    &       & 20    &       & 15    &       & 6     &       & 1     &       \\
        & 1     &       & 7     &       & 21    &       & 35    &       & 35    &       & 21    &       & 7     &       & 1     \\
  1     &       & 8     &       & 28    &       & 56    &       & 70    &       & 56    &       & 28    &       & 8     &       & 1 \\
\end{array}
$$

 

Hver række svarer til koefficienterne i \(\large (x+y)^n\).

 

 

Den generelle formel

Binomialformlen siger generelt:

 

$$ \large (x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r} $$

 

Her er \(\large \binom{n}{r}\) en kombination, og angiver hvor mange måder vi kan vælge \(r\) faktorer af \(x\) ud af i alt \(n\).

 

 

Eksempel med \( \large n=5 \)

Udviklingen af \((x+y)^5\) giver:

 

$$ \large (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 $$

 

Koefficienterne \( \large 1,5,10,10,5,1 \) svarer til række 5 i Pascals trekant.

 

 

Opsummering

• Binomialformlen giver en metode til at udvikle \((x+y)^n\).
• Koefficienterne findes i Pascals trekant.
• Koefficienterne er givet ved kombinationer: \(\large \binom{n}{r}\).

 

Formlen forbinder algebra, kombinatorik og sandsynlighed, og er grundlaget for bl.a. binomialfordelingen.