Raisonnement par l’absurde
Une démonstration par contradiction est une méthode où l'on suppose le contraire de ce que l'on veut montrer, puis l'on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction. Lorsqu'une contradiction apparaît, cela signifie que l'hypothèse ne peut pas être vraie, et donc que l'affirmation initiale doit être correcte.
La méthode est utile lorsqu'une démonstration directe est difficile ou peu claire. Souvent, une contradiction peut mettre en évidence pourquoi une affirmation doit être valable, et la technique est utilisée dans certaines des démonstrations les plus célèbres des mathématiques.
Démarche
Une démonstration par contradiction peut être décrite en trois étapes :
1. Supposer que l'affirmation que l'on veut démontrer est fausse.
2. Utiliser des règles logiques, des définitions et des résultats antérieurs pour déduire les conséquences de l'hypothèse.
3. Montrer que l'on arrive à une contradiction, par exemple que quelque chose doit être à la fois vrai et faux.
Exemple 1
Nous voulons démontrer qu'il n'existe pas de nombre impair divisible par 2. Supposons le contraire, qu'un nombre \( \large n \) est impair et divisible par 2. Nous pouvons alors écrire :
$$ \large n = 2a+1 \quad \text{et} \quad n = 2b $$
Ici \( \large n \) est écrit de deux façons : à la fois comme impair et comme pair. C'est impossible, puisque les deux formes s'excluent mutuellement. Ainsi, l'hypothèse est une contradiction, et la conclusion est qu'aucun nombre impair n'est divisible par 2.
Exemple 2
Une démonstration classique par contradiction est que la racine carrée de 2 est irrationnelle. Supposons le contraire, que \( \large \sqrt{2} \) soit rationnelle, c'est-à-dire qu'elle puisse s'écrire comme une fraction :
$$ \large \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$
où \( \large p \) et \( \large q \) sont des entiers sans facteur commun. En réécrivant cela, nous obtenons :
$$ \large 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2 $$
Ainsi \( \large p^2 \) est pair, ce qui signifie que \( \large p \) doit être pair. Posons \( \large p = 2k \). Remplaçons dans l'équation :
$$ \large (2k)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2k^2 $$
Il en résulte que \( \large q \) est aussi pair. Mais alors \( \large p \) et \( \large q \) ont un facteur commun 2, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle la fraction était réduite. Donc \( \large \sqrt{2} \) ne peut pas être rationnelle.
Les démonstrations par contradiction sont l'un des outils les plus puissants des mathématiques. Elles sont utilisées non seulement pour montrer des résultats en théorie des nombres, mais aussi en algèbre, en analyse et en logique, où une approche directe peut être impossible. En inversant le raisonnement, on peut montrer la vérité par l'impossible.