Démonstration par contraposition
La contraposée est une méthode où au lieu de démontrer un énoncé directement, on démontre l'énoncé logiquement équivalent.
Si l'on veut démontrer une affirmation du type "si A, alors B", on peut à la place démontrer "si non-B, alors non-A". Comme les deux énoncés sont logiquement identiques, la preuve est valable.
La méthode est utile lorsqu'il est difficile de passer directement de A à B, mais plus simple d'argumenter à rebours de non-B à non-A.
La contraposée offre ainsi une voie alternative pour parvenir au même résultat.
Démarche
Une démonstration par contraposée peut être divisée en trois étapes :
1. Réécrire l'énoncé "si A, alors B" en "si non-B, alors non-A".
2. Supposer que la conclusion B ne vaut pas.
3. Montrer logiquement que cela implique que l'hypothèse A ne peut pas non plus valoir.
Exemple 1
Nous voulons démontrer : Si \( \large n^2 \) est impair, alors \( \large n \) est impair. Directement, cela peut être difficile, mais par contraposée cela devient :
Si \( \large n \) est pair, alors \( \large n^2 \) est pair.
Écrivons \( \large n = 2a \). Nous obtenons alors :
$$ \large n^2 = (2a)^2 = 4a^2 = 2(2a^2) $$
Ainsi \( \large n^2 \) est pair. La contraposée est donc montrée, et l'affirmation initiale est démontrée.
Exemple 2
Nous voulons démontrer : Si un entier \( \large n \) est divisible par 6, alors il est divisible par 3. La contraposée est :
Si \( \large n \) n'est pas divisible par 3, alors \( \large n \) n'est pas divisible par 6.
Supposons que \( \large n \) ne soit pas divisible par 3. Cela signifie que \( \large n = 3q + r \) avec reste \( \large r = 1 \) ou \( \large r = 2 \). Dans les deux cas, \( \large n \) n'est pas divisible par 6, car un nombre doit au moins être divisible par 3 pour être divisible par 6. Ainsi, l'affirmation est démontrée par contraposée.
Exemple 3
Nous voulons démontrer : Si une fraction \( \large \frac{a}{b} \) est réduite à sa forme la plus simple, alors \( \large a \) et \( \large b \) ne sont pas tous deux divisibles par le même nombre premier. La contraposée est :
Si \( \large a \) et \( \large b \) sont divisibles par le même nombre premier, alors la fraction \( \large \frac{a}{b} \) n'est pas sous sa forme la plus simple.
Supposons que \( \large a \) et \( \large b \) soient tous deux divisibles par un nombre premier \( \large p \). Nous pouvons alors écrire :
$$ \large a = p \cdot m \quad \text{et} \quad b = p \cdot n $$
La fraction devient alors :
$$ \large \frac{a}{b} = \frac{p \cdot m}{p \cdot n} = \frac{m}{n} $$
Ainsi, la fraction peut être réduite par \( \large p \), ce qui montre que la fraction initiale n'était pas sous sa forme la plus simple. La contraposée est donc montrée, et l'affirmation initiale est démontrée.
Les démonstrations par contraposée sont souvent plus courtes et plus claires que les démonstrations directes lorsqu'on travaille avec des propriétés arithmétiques et la divisibilité. La technique offre une autre perspective sur un problème, mais le résultat est logiquement exactement le même.