Démonstration directe

Une démonstration directe est la méthode de preuve la plus simple en mathématiques. Ici, on part des hypothèses données et l'on raisonne pas à pas jusqu'à la conclusion que l'on veut montrer.

Chaque étape s'appuie sur des règles connues, des définitions ou des résultats déjà démontrés.

 

La méthode est particulièrement adaptée lorsque l'on travaille avec des énoncés du type "si ... alors ...".

On commence par supposer que la condition est remplie, puis on montre logiquement que la conclusion doit en découler. De cette manière, une démonstration directe ressemble à une chaîne d'arguments, où chaque maillon suit naturellement du précédent.

 

Démarche

Lorsqu'on effectue une démonstration directe, on peut souvent structurer le travail en trois étapes :

 

1. Supposer que les hypothèses sont vraies.
2. Utiliser des définitions, des règles et des théorèmes connus pour dériver de nouveaux résultats.
3. Continuer jusqu'à ce que la conclusion annoncée soit montrée.

 

 

Exemple 1

Nous voulons démontrer que la somme de deux nombres impairs est toujours paire. Écrivons les nombres sous la forme \( \large 2a+1 \) et \( \large 2b+1 \). Nous obtenons alors :

 

$$ \large (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1) $$

 

Le résultat peut s'écrire comme 2 multiplié par un entier, donc un nombre pair. Ainsi, l'énoncé est démontré directement.

 

 

Exemple 2

Nous voulons démontrer que le produit de deux nombres pairs est toujours divisible par 4. Écrivons les nombres comme \( \large 2m \) et \( \large 2n \). Alors :

 

$$ \large (2m)\cdot(2n) = 4mn $$

 

Comme l'expression peut s'écrire comme 4 multiplié par un entier, elle est toujours divisible par 4. Ainsi, l'énoncé est démontré par démonstration directe.

 

 

Exemple 3

Nous voulons démontrer que si deux nombres sont tous deux divisibles par 3, alors leur somme est également divisible par 3. Écrivons les nombres comme \( \large 3x \) et \( \large 3y \). Nous obtenons alors :

 

$$ \large 3x + 3y = 3(x+y) $$

 

La somme est un multiple de 3 et donc divisible par 3. Ainsi, l'énoncé est démontré directement.

 

 

Les démonstrations directes donnent une compréhension claire et intuitive de la raison pour laquelle un énoncé est vrai. La méthode est aussi la base de nombreuses autres techniques de preuve, qui reposent sur la même idée : que les règles logiques peuvent relier les hypothèses à la conclusion.