Une table de vérité est un outil systématique permettant de montrer comment la valeur de vérité d’une proposition composée dépend des valeurs de vérité des propositions individuelles. La table permet d’examiner toutes les situations possibles et de voir exactement quand une expression est vraie ou fausse.

 

 

Nombre de lignes

Si une expression logique contient \( \large n \) propositions, il faut considérer toutes les combinaisons de vrai et faux. La table comporte donc \( \large 2^n \) lignes.

 

Exemples :

 

• Pour une proposition, \( \large p \), la table a \( \large 2^1 = 2 \) lignes.
• Pour deux propositions, \( \large p, q \), la table a \( \large 2^2 = 4 \) lignes.
• Pour trois propositions, \( \large p, q, r \), la table a \( \large 2^3 = 8 \) lignes.

 

 

Exemple : Deux propositions

On peut examiner l’expression \( \large (p \lor q) \land \lnot p \). La table montre d’abord toutes les combinaisons de \( \large p \) et \( \large q \), puis le résultat de l’ensemble de l’expression :

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & (p \lor q) \land \lnot p \\ \hline V & V & F \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

 

Exemple : Trois propositions

Si trois propositions sont impliquées, la table grandit rapidement. Pour l’expression \( \large (p \lor q) \Rightarrow r \), il faut inclure les huit combinaisons :

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & q & r & (p \lor q) \Rightarrow r \\ \hline V & V & V & V \\ V & V & F & F \\ V & F & V & V \\ V & F & F & F \\ F & V & V & V \\ F & V & F & F \\ F & F & V & V \\ F & F & F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Applications

Les tables de vérité sont utilisées pour plusieurs objectifs :

 

• Définir précisément les connecteurs logiques.
• Analyser des expressions logiques complexes.
• Étudier si deux expressions sont logiquement équivalentes.
• En informatique et en électronique, par exemple pour décrire des circuits logiques et l’algèbre de Boole.

 

 

Résumé

Une table de vérité montre toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour les propositions présentes dans une expression. Elle permet de voir clairement les règles, de vérifier des expressions et de démontrer des relations logiques. Les tables de vérité sont donc l’un des outils les plus fondamentaux de la logique.