Qu’est-ce qu’une proposition ?
Une proposition est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse. Les propositions sont les éléments fondamentaux de la logique et des mathématiques, car elles nous donnent quelque chose que nous pouvons analyser, combiner et étudier avec des règles systématiques.
Exemples de propositions
Quelques propositions simples sont :
- 2 est un nombre pair
- 7 est plus grand que 10
- Tous les triangles ont trois côtés
Dans ces exemples, la première et la troisième proposition sont vraies, tandis que la deuxième est fausse. L’essentiel est que chaque proposition possède une valeur de vérité univoque.
Non-propositions
Toutes les phrases ne sont pas des propositions. Par exemple :
- Quelle heure est-il ?
- Ferme la porte !
- x + 5 > 7
Une question ou un ordre ne peuvent pas être vrais ou faux, et ne sont donc pas des propositions. La dernière phrase est une proposition ouverte, car elle dépend de la valeur de \( \large x \). Ce n’est que lorsque \( \large x \) reçoit une valeur concrète qu’elle devient une proposition, par exemple "3 + 5 > 7", qui est vraie.
Notation
En logique, on utilise des lettres comme symboles pour les propositions. Disons que :
$$ \large p : 2 \text{ est un nombre pair} $$
$$ \large q : 7 \text{ est plus grand que 10} $$
Alors les valeurs de vérité sont :
$$ \large p = \text{vrai}, \quad q = \text{faux} $$
En introduisant des symboles tels que \( \large p, q, r \), nous pouvons travailler de manière générale avec les règles de la logique sans répéter chaque fois des exemples concrets.
Les propositions comme fondement
Les propositions constituent le fondement de la logique propositionnelle. En les combinant avec des connecteurs logiques tels que \( \land \) (et), \( \lor \) (ou), et \( \lnot \) (non), nous pouvons former des propositions plus complexes et établir des règles systématiques pour savoir quand elles sont vraies ou fausses.
En résumé : Une proposition est une affirmation qui est sans ambiguïté vraie ou fausse. Les non-propositions comme les questions, les ordres ou les propositions ouvertes n’en font pas partie. Cette distinction est à la base de toute logique et de toutes les mathématiques.