Les quantificateurs sont utilisés pour exprimer des propositions qui concernent tous les éléments d’un ensemble ou l’existence d’au moins un élément. Ils permettent de passer d’énoncés sur des cas particuliers à des énoncés généraux, ce qui constitue une partie centrale des mathématiques.

 

 

Quantificateur universel (pour tout)

Le quantificateur universel indique que quelque chose vaut pour tous les éléments d’un ensemble donné. Il s’écrit avec le symbole \( \large \forall \).

 

Exemples :

Tous les nombres naturels sont supérieurs ou égaux à 0 :

 

$$ \large \forall n \in \mathbb{N} : n \geq 0 $$

 

Le carré d’un nombre réel n’est pas négatif :

 

$$ \large \forall x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 0 $$

 

 

Quantificateur existentiel (il existe)

Le quantificateur existentiel indique qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble qui satisfait une certaine propriété. Il s’écrit avec le symbole \( \large \exists \).

 

Exemples :

Il existe un nombre naturel qui est premier :

 

$$ \large \exists n \in \mathbb{N} : n \text{ est premier} $$

 

Il existe un nombre réel dont le carré vaut 2 :

 

$$ \large \exists x \in \mathbb{R} : x^2 = 2 $$

 

 

Malentendus typiques

Il est important de distinguer entre le quantificateur universel et existentiel :

 

• \( \large \forall x \in \mathbb{N} : x \text{ est pair} \) est faux, car tous les nombres naturels ne sont pas pairs.
• \( \large \exists x \in \mathbb{N} : x \text{ est pair} \) est vrai, car il existe au moins un nombre naturel qui est pair (en réalité une infinité).

 

Lorsque plusieurs quantificateurs apparaissent ensemble, l’ordre a une grande importance :

 

• \( \large \forall x \in \mathbb{R} \, \exists y \in \mathbb{R} : y = x+1 \) est vrai (pour chaque nombre, on peut en trouver un autre qui est plus grand d’une unité).
• \( \large \exists y \in \mathbb{R} \, \forall x \in \mathbb{R} : y = x+1 \) est faux (il n’existe pas un seul nombre qui soit plus grand d’une unité que tous les autres).

 

 

Négation des quantificateurs

Les quantificateurs sont étroitement liés à la négation. Nier une proposition quantifiée signifie changer le quantificateur et nier la proposition intérieure :

 

$$ \large \lnot (\forall x : P(x)) \; \equiv \; \exists x : \lnot P(x) $$

$$ \large \lnot (\exists x : P(x)) \; \equiv \; \forall x : \lnot P(x) $$

 

Exemple : « Tous les nombres naturels ne sont pas pairs » peut s’écrire :

 

$$ \large \lnot (\forall n \in \mathbb{N} : n \text{ est pair}) $$

 

Ceci est équivalent à dire :

 

$$ \large \exists n \in \mathbb{N} : n \text{ est impair} $$

 

 

Résumé

Les quantificateurs permettent de formuler des énoncés mathématiques de manière générale :

 

• Quantificateur universel \( \forall \) : quelque chose vaut pour tous les éléments.
• Quantificateur existentiel \( \exists \) : il existe au moins un élément pour lequel quelque chose vaut.
• Sous la négation, les quantificateurs s’inversent : « pas tous » devient « il en existe un qui ne », et « il n’en existe pas un » devient « pour tous, cela ne vaut pas ».

 

Ces symboles sont centraux dans les mathématiques modernes et jouent un rôle majeur dans les définitions, théorèmes et démonstrations.