Les lois logiques sont des règles qui montrent comment on peut réécrire des propositions sans changer leur valeur de vérité. Elles servent à simplifier les expressions logiques et à montrer que deux expressions différentes signifient en réalité la même chose. Les lois logiques fonctionnent comme des règles de calcul en logique, de la même manière que nous avons des règles de calcul en arithmétique.

 

 

Symboles

En logique, différents symboles sont utilisés pour montrer des relations entre propositions :

 

• \( = \) signifie égalité ordinaire, comme en arithmétique : \( 2+2 = 4 \).
• \( \equiv \) signifie équivalence logique : deux expressions ont toujours la même valeur de vérité.
• \( \Rightarrow \) signifie implication : si une proposition est vraie, l’autre doit aussi être vraie.

 

 

$$ \large \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Loi} & \text{Équivalence} \\ \hline \text{Lois d’identité} & p \land \text{vrai} \equiv p \\ & p \lor \text{faux} \equiv p \\ \hline \text{Lois de complément} & p \lor \lnot p \equiv \text{vrai} \\ & p \land \lnot p \equiv \text{faux} \\ \hline \text{Lois de De Morgan (propositions)} & \lnot (p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q \\ & \lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q \\ \hline \text{Lois de De Morgan (quantificateurs)} & \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) \\ & \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) \\ \hline \text{Double négation} & \lnot (\lnot p) \equiv p \\ \hline \text{Distributivité} & p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \\ & p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \\ \hline \text{Commutativité} & p \land q \equiv q \land p \\ & p \lor q \equiv q \lor p \\ \hline \text{Associativité} & (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \\ & (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \\ \hline \text{Idempotence} & p \land p \equiv p \\ & p \lor p \equiv p \\ \hline \text{Absorption} & p \lor (p \land q) \equiv p \\ & p \land (p \lor q) \equiv p \\ \hline \end{array} $$

 

 

Lois d’identité

Elles montrent que vrai et faux agissent comme éléments neutres pour et et ou respectivement :

 

$$ \large p \land \text{vrai} \equiv p \qquad p \lor \text{faux} \equiv p $$

 

Exemple :

"Il pleut, et c’est vrai" signifie simplement "il pleut".

 

 

Lois de complément

Une proposition combinée avec sa négation donne toujours vrai ou faux :

 

$$ \large p \lor \lnot p \equiv \text{vrai} \qquad p \land \lnot p \equiv \text{faux} $$

 

Exemple :

"Soit il pleut, soit il ne pleut pas" est toujours vrai.

 

 

Lois de De Morgan

La négation se distribue sur et et ou :

 

$$ \large \lnot (p \land q) \equiv (\lnot p) \lor (\lnot q) $$

$$ \large \lnot (p \lor q) \equiv (\lnot p) \land (\lnot q) $$

 

Exemple :

"Il n’est pas vrai qu’il soit lundi et qu’il pleuve" signifie la même chose que "soit ce n’est pas lundi, soit il ne pleut pas".

 

Les lois de De Morgan s’appliquent aussi aux quantificateurs :

 

$$ \large \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) $$

$$ \large \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) $$

 

 

Double négation

Nier une proposition deux fois redonne la proposition elle-même :

 

$$ \large \lnot (\lnot p) \equiv p $$

 

Exemple :

"Il n’est pas vrai que 7 ne soit pas premier" signifie "7 est premier".

 

 

Distributivité

La conjonction et la disjonction peuvent se distribuer l’une sur l’autre :

 

$$ \large p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) $$

$$ \large p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) $$

 

Exemple :

"J’achète du lait, et du pain ou du fromage" équivaut à "j’achète du lait et du pain, ou du lait et du fromage".

 

 

Commutativité

L’ordre des propositions n’a pas d’importance avec et et ou :

 

$$ \large p \land q \equiv q \land p \qquad p \lor q \equiv q \lor p $$

 

Exemple :

"Il pleut, et il vente" signifie la même chose que "il vente, et il pleut".

 

 

Associativité

Le placement des parenthèses n’a pas d’importance quand on relie plusieurs propositions avec le même opérateur :

 

$$ \large (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) $$

$$ \large (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) $$

 

Exemple :

"((il pleut et il vente) et il fait froid)" est la même chose que "(il pleut et (il vente et il fait froid))".

 

 

Idempotence

Répéter la même proposition avec et ou ou n’ajoute aucun contenu nouveau :

 

$$ \large p \land p \equiv p \qquad p \lor p \equiv p $$

 

Exemple :

"Il pleut et il pleut" signifie simplement "il pleut".

 

 

Absorption

La combinaison de propositions peut souvent se réduire à une seule :

 

$$ \large p \lor (p \land q) \equiv p $$

$$ \large p \land (p \lor q) \equiv p $$

 

Exemple :

"Il pleut, ou il pleut et il vente" signifie simplement "il pleut".

 

 

Résumé

Les lois logiques permettent de réécrire et de simplifier des expressions logiques sans changer leur signification. Ensemble, elles forment un système de règles qui ressemble aux règles de calcul de l’algèbre. Elles sont utilisées à la fois pour simplifier des expressions, démontrer des relations logiques et dans des applications comme l’informatique et l’algèbre booléenne.