Les connecteurs logiques sont utilisés pour combiner des propositions et en former de nouvelles. Ils décrivent comment la valeur de vérité de la proposition composée dépend des propositions individuelles. Les connecteurs logiques les plus importants sont la négation, la conjonction, la disjonction, l’implication et l’équivalence.

 

 

Négation

La négation d’une proposition exprime que c’est le contraire qui est le cas. Si \( \large p \) est une proposition, la négation s’écrit \( \large \lnot p \) et se lit "non p".

 

Exemples :

 

• Si \( \large p \) est "2 est un nombre pair", alors \( \large \lnot p \) est la proposition "2 n’est pas un nombre pair".
• Si \( \large p \) est "Le soleil brille", alors \( \large \lnot p \) est la proposition "Le soleil ne brille pas".

 

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline p & \lnot p \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Conjonction (et)

La conjonction de deux propositions est vraie lorsque les deux propositions sont vraies. Si \( \large p \) et \( \large q \) sont des propositions, la conjonction s’écrit \( \large p \land q \).

 

Exemples :

 

• Si \( \large p \) est "2 est un nombre pair" et \( \large q \) est "2 est supérieur à 1", alors \( \large p \land q \) est vrai.
• Si \( \large p \) est "5 est un nombre premier" et \( \large q \) est "5 est un nombre pair", alors \( \large p \land q \) est faux, car seule la première proposition est vraie.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

 

Disjonction (ou)

La disjonction de deux propositions est vraie lorsqu’au moins une des propositions est vraie. Si \( \large p \) et \( \large q \) sont des propositions, la disjonction s’écrit \( \large p \lor q \).

 

Remarque : En mathématiques, "ou" signifie presque toujours "ou inclusif", c’est-à-dire que la proposition est aussi vraie si les deux le sont.

 

Exemples :

 

• Si \( \large p \) est "2 est un nombre pair" et \( \large q \) est "2 est supérieur à 10", alors \( \large p \lor q \) est vrai, car au moins une des propositions est vraie.
• Si \( \large p \) est "5 est un nombre premier" et \( \large q \) est "5 est un nombre pair", alors \( \large p \lor q \) est vrai, car \( \large p \) est vrai.
• La disjonction n’est fausse que lorsque les deux propositions sont fausses.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \lor q \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

Dans le langage courant, "ou" est souvent utilisé comme "ou exclusif" (l’un ou l’autre, mais pas les deux). En mathématiques, cela peut s’écrire comme une opération spéciale : \( \large p \oplus q \). Celle-ci est vraie exactement lorsqu’une proposition est vraie, mais pas les deux.

 

 

Implication (si … alors …)

L’implication exprime une relation conditionnelle. Si \( \large p \) et \( \large q \) sont des propositions, elle s’écrit \( \large p \Rightarrow q \) et se lit "si p, alors q".

 

L’implication est fausse uniquement lorsque la prémisse \( \large p \) est vraie et la conclusion \( \large q \) est fausse. Dans tous les autres cas, elle est considérée comme vraie.

 

Exemples :

 

• Si \( \large p \) est "un nombre est divisible par 4" et \( \large q \) est "le nombre est divisible par 2", alors \( \large p \Rightarrow q \) est vrai, car tout nombre divisible par 4 l’est aussi par 2.
• Si \( \large p \) est "7 est un nombre pair" et \( \large q \) est "10 est un nombre pair", alors \( \large p \Rightarrow q \) est vrai, car la prémisse est fausse – quelle que soit la conclusion.

 

Cela peut sembler contre-intuitif dans le langage courant, mais en mathématiques c’est pratique : une implication avec prémisse fausse est comptée comme vraie, car l’affirmation "si … alors …" n’est pas réfutée.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Équivalence (si et seulement si)

L’équivalence exprime que deux propositions ont toujours la même valeur de vérité. Si \( \large p \) et \( \large q \) sont des propositions, elle s’écrit \( \large p \Leftrightarrow q \).

 

Exemples :

 

• "Un nombre est pair si et seulement s’il peut s’écrire \( \large 2 \cdot k \) pour un entier \( \large k \)".
• "Un triangle est équilatéral si et seulement si tous ses côtés sont égaux".

 

L’équivalence est vraie lorsque les deux propositions sont vraies ou les deux sont fausses, et fausse lorsqu’elles ont des valeurs de vérité différentes.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Résumé

Les connecteurs logiques les plus importants sont :

 

• Négation : \( \lnot p \) — vrai si \( p \) est faux
• Conjonction : \( p \land q \) — vrai seulement si les deux sont vrais
• Disjonction : \( p \lor q \) — vrai si au moins une est vraie
• Implication : \( p \Rightarrow q \) — faux seulement si p est vrai et q est faux
• Équivalence : \( p \Leftrightarrow q \) — vrai lorsque p et q ont la même valeur de vérité

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \lnot p & p \land q & p \lor q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\ \hline V & V & F & V & V & V & V \\ V & F & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V & F \\ F & F & V & F & F & V & V \\ \hline \end{array} $$