La logique et le calcul propositionnel sont la partie des mathématiques qui traite des propositions, de leur valeur de vérité et des règles selon lesquelles elles peuvent être combinées et manipulées. Ils constituent la base de tout raisonnement et de toute démonstration mathématique.

La logique en mathématiques diffère de l’usage quotidien du mot logique. En mathématiques, nous travaillons avec des règles précises pour déterminer quand une proposition est vraie ou fausse. Une proposition est une affirmation qui est soit vraie soit fausse. Tout le calcul propositionnel repose sur ce principe simple.

 

 

Calcul propositionnel comme système

Nous pouvons combiner des propositions à l’aide de connecteurs logiques tels que et, ou et non.

 

$$ \large p \land q \quad\; (\text{et}) $$

$$ \large p \lor q \quad\; (\text{ou}) $$

$$ \large \lnot p \quad\; (\text{non}) $$

 

Lorsque des propositions sont combinées, nous pouvons établir des règles pour la valeur de vérité dans tous les cas possibles. Ces règles sont regroupées dans des tables de vérité.

Voici un exemple d’une table de vérité pour la conjonction \( \large p \land q \) :

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

Nous pouvons aussi étendre le langage avec des quantificateurs, afin de parler de tous les éléments d’un ensemble ou de l’existence d’au moins un élément. Le quantificateur universel exprime pour tout, tandis que le quantificateur existentiel exprime il existe :

 

$$ \large \forall x \in M : P(x) $$

$$ \large \exists x \in M : P(x) $$

 

 

Lois logiques

Les propositions peuvent souvent être réécrites sans changer leur valeur de vérité. Cela se fait à l’aide de lois logiques. Exemples : les lois de De Morgan, la double négation et la distributivité. Ces règles permettent de simplifier des propositions complexes et de trouver des formulations alternatives.

 

 

Logique en mathématiques

La logique est utilisée directement dans les démonstrations mathématiques. Un exemple simple est l’affirmation qu’un entier est pair si et seulement s’il peut être écrit comme deux fois un autre entier. Cela peut s’exprimer logiquement :

 

$$ \large n \text{ est pair } \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2 \cdot k $$

 

 

Structure et aperçu

Dans une étude ultérieure, on peut examiner en détail les propositions, les connecteurs logiques, les tables de vérité, les quantificateurs et les lois logiques.