Permutation (échantillon ordonné) est une méthode en combinatoire où l’ordre a de l’importance.

Le contraire est les combinaisons, où l’ordre n’a pas d’importance.

 

Lorsque nous tirons des éléments, cela peut se faire sans remise ou avec remise :

 

Sans remise :

Un élément ne peut être utilisé qu’une seule fois. Si vous retirez une boule d’un sac et que vous ne la remettez pas, elle ne peut pas être tirée à nouveau.

 

Avec remise :

Un élément peut être utilisé plusieurs fois. Si vous retirez une boule d’un sac mais que vous la remettez, elle peut être tirée à nouveau.

 

Lorsque nous parlons de permutations (échantillons ordonnés), nous distinguons donc entre choisir sans remise ou avec remise.

 

 

Échantillon ordonné sans remise

Dans un tournoi de football avec 6 équipes, il doit y avoir une 1ère, 2ème et 3ème place.

 

Combien de façons les médailles peuvent-elles être distribuées ?

 

L’échantillon est ordonné, car il importe quelle équipe est 1ère, 2ème et 3ème.

Il est aussi sans remise, car une équipe ne peut pas gagner plus d’une place.

 

$$ \large P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{6!}{3!} $$

$$ \large P(6,3) = \frac{720}{6} $$

$$ \large Permutations\ = 120 $$

 

Il y a donc 120 façons possibles de distribuer les médailles.

 

 

Permutation complète

Dans l’exemple des médailles, nous n’avons choisi qu’un sous-ensemble des équipes, où \( \large r < n \).

On peut aussi avoir une permutation complète, où tous les éléments sont inclus. Dans ce cas :

 

$$ \large P(n,n) = n! $$

 

Exemple : Les 6 équipes doivent se mettre en ligne :

 

$$ \large 6! = 720 $$

 

Il y a donc 720 ordres possibles.

 

 

Échantillon ordonné avec remise

Si vous devez choisir un code pour l’antivol de votre vélo avec 4 chiffres, il y a 10 nombres possibles (0-9) à chaque choix.

Vous pouvez choisir \( \large 5555 \), car c’est avec remise. Le même chiffre peut être utilisé plusieurs fois.

L’ordre compte aussi : \( \large 1234 \) n’est pas le même que \( \large 4321 \).

 

Vous devez choisir 4 chiffres, et il y a 10 possibilités (0-9) chaque fois.

 

$$ \large Permutations\ = n^r $$

$$ \large Permutations\ = 10^4 $$

$$ \large Permutations\ = 10.000 $$

 

Il y a donc 10.000 codes possibles.

 

 

Résumé

Une permutation est un échantillon ordonné, où l’ordre a de l’importance.

 

• Sans remise : Un élément ne peut être utilisé qu’une seule fois. Exemple : distribution des médailles.
• Avec remise : Un élément peut être utilisé plusieurs fois. Exemple : codes PIN.
• Permutation complète : Tous les éléments sont inclus, et le nombre est \( \large n! \).

 

Les permutations servent à compter les ordres possibles, et elles augmentent très rapidement en nombre même pour de petites valeurs de \( \large n \).