Combinaison (échantillon non ordonné) est une méthode en combinatoire où l’ordre n’a pas d’importance. Le contraire est les permutations, où l’ordre a de l’importance.

 

Lorsque nous faisons des combinaisons, nous distinguons entre sans remise et avec remise.

 

 

Échantillon non ordonné sans remise

Imaginez un jeu de cartes : Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on obtenir d’un jeu de 52 cartes ?

 

L’échantillon est non ordonné, car l’ordre dans lequel les cartes sont tirées n’a pas d’importance. Il est aussi sans remise, car chaque carte ne peut être utilisée qu’une seule fois.

 

$$ \large \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!} $$

$$ \large \binom{52}{5} = \frac{52!}{(52-5)! \cdot 5!} $$

 

Le résultat est 2.598.960 mains de poker possibles.

 

 

Échantillon non ordonné avec remise

Si vous devez choisir deux lettres parmi \(\{A, B, C, D, E\}\), et que vous pouvez choisir la même lettre plusieurs fois, alors c’est un échantillon non ordonné avec remise.

 

Cela signifie que \(A,A\) est autorisé, et que \(A,E\) est identique à \(E,A\), car l’ordre n’a pas d’importance.

 

$$ \large \binom{n+r-1}{r} = \frac{(n-1+r)!}{(n-1)! \cdot r!} $$

$$ \large \binom{5+2-1}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = 15 $$

 

Les 15 combinaisons sont :

 

(A,A), (A,B), (A,C), (A,D), (A,E)
(B,B), (B,C), (B,D), (B,E)
(C,C), (C,D), (C,E)
(D,D), (D,E)
(E,E)

 

Remarque : En français on utilise le plus souvent directement la notation binomiale :

 

$$ \large \binom{n}{r} $$

 

On peut aussi rencontrer la forme \(C^r_n\). La notation binomiale est la plus universelle et c’est celle qui figure dans la collection de formules.

 

 

Résumé

Une combinaison est un échantillon non ordonné, où l’ordre n’a pas d’importance.

• Sans remise : Chaque élément ne peut être utilisé qu’une fois. Exemple : mains de poker à partir de 52 cartes.
• Avec remise : Le même élément peut être choisi plusieurs fois. Exemple : choix de lettres où la même lettre peut apparaître plusieurs fois.

Les combinaisons sont utilisées pour compter combien de façons différentes on peut choisir un ensemble d’éléments lorsque l’ordre n’a pas d’importance.