Règles pour les limites

Lorsqu’on travaille avec des limites, il peut être difficile de les calculer directement à partir de la définition. Heureusement, il existe plusieurs règles simples qui permettent de trouver de nombreuses limites sans longues démonstrations. Ces règles ressemblent aux règles arithmétiques classiques de l’algèbre.

 

 

Somme et différence

Si deux fonctions ont une limite au même point, on peut additionner ou soustraire leurs limites :

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $$

 

Cela signifie qu’on peut calculer chaque limite séparément, puis effectuer l’addition ou la soustraction sur les résultats.

 

 

Produit

La limite d’un produit est le produit des limites :

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

On multiplie donc les deux limites, à condition qu’elles existent et soient finies.

 

 

Quotient

Pour une fraction, la limite peut être trouvée en prenant séparément les limites du numérateur et du dénominateur, tant que la limite du dénominateur n’est pas nulle :

 

$$ \large \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{si } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 $$

 

Si la limite du dénominateur est nulle, il faut examiner l’expression plus en détail, car des limites infinies ou des situations 0/0 peuvent apparaître, nécessitant une réécriture ou une factorisation.

 

 

Constante multipliée par une fonction

Une constante peut toujours être sortie du signe de la limite :

 

$$ \large \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) $$

 

Cela simplifie de nombreuses expressions, car on peut ignorer les facteurs qui ne dépendent pas de x.

 

 

Puissances et racines

Si la fonction admet une limite, on peut appliquer directement des puissances ou des racines au résultat :

 

$$ \large \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right)^n $$

$$ \large \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} $$

 

Ces règles s’appliquent tant que la puissance ou la racine résultante est définie (par exemple, on ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif dans les réels).

 

 

Fonctions composées

Si une fonction est composée d’une autre, la limite peut être calculée en prenant d’abord la limite de la fonction intérieure, puis en insérant le résultat dans la fonction extérieure :

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\!\left( \lim_{x \to a} g(x) \right) $$

 

Cela n’est vrai que si f est continue au point vers lequel g(x) tend.

 

 

Exemples

1. Calculer la limite :

 

$$ \large \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4) $$

 

Ici, on peut simplement remplacer x = 2, car les polynômes sont continus :

 

$$ \large 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 12 - 10 + 4 = 6 $$

 

2. Calculer la limite :

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

 

La substitution directe donne 0/0, donc on réécrit l’expression par factorisation :

 

$$ \large \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 $$

 

et donc :

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$

 

 

Ainsi, les règles permettent de simplifier et de calculer efficacement les limites.

 

 

Résumé

Les règles des limites permettent de calculer presque comme avec des nombres ordinaires. Elles s’appliquent à toutes les fonctions dont les limites existent et constituent la base de la plupart des calculs en analyse.