Limites particuliers

Certaines limites apparaissent si souvent en analyse qu’elles ont acquis une importance particulière. Elles sont utilisées comme points de référence fondamentaux dans les démonstrations et les calculs, notamment en lien avec la trigonométrie, les fonctions exponentielles et les logarithmes.

 

 

Limites trigonométriques

L’une des limites les plus importantes de toute l’analyse est :

 

$$ \large \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

 

Cette limite est utilisée, entre autres, pour montrer que la fonction sinus est dérivable en zéro et elle constitue la base de la dérivation des fonctions trigonométriques.

 

Une limite étroitement liée est :

 

$$ \large \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 $$

 

Elle est souvent utilisée conjointement avec la première lors du calcul d’expressions trigonométriques impliquant à la fois \(\sin x\) et \(\cos x\).

 

 

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Une autre limite classique définit le nombre e, qui est la base des logarithmes naturels :

 

$$ \large \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e $$

 

Elle montre comment une croissance répétée à pourcentage fixe tend vers une valeur constante lorsque le nombre d’étapes devient très grand. Cette limite constitue la base de la fonction exponentielle et de ses applications dans les modèles de croissance et les calculs financiers.

 

Une limite liée est :

 

$$ \large \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$

 

Les deux formes décrivent la même relation entre croissance discrète et continue et sont souvent utilisées de manière interchangeable dans les démonstrations et les dérivations.

 

 

Croissances infinies et comparatives

En comparant des fonctions qui tendent vers l’infini, on peut déterminer laquelle croît le plus rapidement. Par exemple :

 

$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $$

$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0 $$

 

On constate ici que le logarithme croît beaucoup plus lentement qu’un polynôme et qu’un polynôme, même très grand, devient finalement infiniment plus petit qu’une fonction exponentielle. Ces comparaisons sont souvent utilisées lors de l’analyse des taux de croissance ou de la détermination du comportement asymptotique.

 

 

Importance en analyse

Les limites particulières constituent des outils fondamentaux dans de nombreuses démonstrations et dérivations. Elles apparaissent dans la définition de la dérivée, dans les séries de Taylor, dans les limites de suites et dans les descriptions de croissance et de convergence. La connaissance de ces limites permet de comprendre et de calculer des expressions plus complexes en analyse.