Limites et continuité

En analyse, une grande partie du travail consiste à décrire comment les fonctions se comportent lorsqu’on s’approche de certains points ou lorsque x tend vers l’infini. Pour en parler, on utilise les notions de limite et de continuité.

 

 

Qu’est-ce qu’une limite ?

Une limite décrit la valeur qu’une fonction approche lorsque x se rapproche de plus en plus d’un point donné. Même si la fonction n’a pas forcément de valeur exacte en ce point, la limite peut tout de même exister.

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(x) = L $$

 

Cela signifie que lorsque x tend vers a, la valeur de la fonction tend vers le nombre L.

 

On peut aussi parler de limite à gauche et de limite à droite, selon la direction par laquelle on s’approche de a. Si les deux limites sont égales, on dit que la fonction possède une limite finie en ce point.

 

Les limites servent à décrire le comportement près des sauts, des trous ou des croissances infinies d’une fonction. Elles jouent donc un rôle central dans tout le calcul différentiel et intégral.

 

 

Exemples de limites

Un exemple simple est la fonction \( \large f(x) = 2x + 1 \). Lorsque x tend vers 3, on peut calculer la limite directement :

 

$$ \large \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 $$

 

Cela signifie que la fonction tend vers la valeur 7 lorsque x se rapproche de 3. Ici, la fonction est également définie en ce point, donc la valeur réelle et la limite sont identiques.

 

Mais parfois, la fonction n’est pas définie en un point même si la limite existe. Considérons par exemple la fonction :

 

$$ \large f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

 

On ne peut pas remplacer directement x = 3, car le dénominateur serait nul. Mais si l’on simplifie l’expression, on obtient :

 

$$ \large f(x) = x + 3 \quad \text{pour } x \neq 3 $$

 

et donc :

 

$$ \large \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $$

 

Bien que la fonction ne soit pas définie en x = 3, la limite existe. Graphiquement, cela correspond à un petit « trou » sur le graphe au point (3, 6).

 

 

Limites à l’infini

On peut également étudier comment une fonction se comporte lorsque x croît sans limite. Par exemple :

 

$$ \large \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

 

Cela signifie que \( \frac{1}{x} \) devient de plus en plus petit à mesure que x augmente, et finit par tendre vers zéro. De la même manière, on peut décrire des fonctions qui croissent vers l’infini.

 

 

Continuité

Une fonction est continue en un point s’il n’y a pas de « saut » dans le graphe à cet endroit. Plus précisément, la limite et la valeur réelle de la fonction doivent être égales :

 

$$ \large \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

 

Cela signifie que le graphe peut être tracé sans lever le crayon. Si la limite n’existe pas, ou si la fonction saute un point, elle n’est pas continue en ce lieu.

 

La continuité est une propriété importante, car elle garantit que la fonction varie de manière fluide. De nombreux théorèmes de l’analyse — comme le théorème des valeurs intermédiaires et la différentiabilité — exigent que la fonction soit continue.

 

 

Importance en analyse

Les limites et la continuité forment la base de toute l’analyse. Elles sont nécessaires pour définir la dérivée, qui décrit les vitesses et les pentes, et plus tard l’intégrale, qui décrit les aires et les sommes cumulées.

 

Dans les sections suivantes, on verra comment calculer les limites de manière systématique à l’aide de règles, et comment analyser des situations particulières où les limites mènent à des résultats infinis ou non définis.

 

En comprenant à la fois les limites et la continuité, on obtient une image claire du comportement des fonctions et donc la base de toute l’analyse ultérieure.