Techniques d’intégration
Lorsque les règles de base de l’intégration ne suffisent pas, il existe des méthodes plus avancées pour traiter les fonctions composées. Les deux plus importantes sont la substitution et l’intégration par parties. Elles permettent de simplifier des intégrales complexes en les réécrivant sous des formes plus simples.
Substitution
La substitution est utilisée lorsqu’une intégrale contient une fonction composée dont une partie de l’expression peut être considérée comme une nouvelle variable. La méthode correspond, en principe, à la règle de la chaîne appliquée “à l’envers”.
L’idée de la substitution
Si l’on peut identifier une expression interne \( \large u = g(x) \), et que le reste de l’intégrande contient \( \large g'(x)\,dx \), on peut remplacer l’ensemble de l’expression par une nouvelle variable \( \large u \). On intègre alors par rapport à \( \large u \) au lieu de \( \large x \).
$$ \large \int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx \;=\; \int f(u)\,du $$
Exemple 1 : Substitution d’une fonction interne
Déterminer \( \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \)
On pose \( \large u = x^2 + 1 \), donc \( \large du = 2x\,dx \). Ainsi :
$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \int u^3\,du \;=\; \frac{u^4}{4} + C \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$
La substitution simplifie donc l’intégrande, ce qui permet de l’intégrer directement à l’aide de la règle de puissance.
Exemple 2 : Fonction exponentielle
Déterminer \( \large \int e^{3x}\,dx \).
Ici, on pose \( \large u = 3x \), donc \( \large du = 3\,dx \) ou \( \large dx = \frac{du}{3} \) :
$$ \large \int e^{3x}\,dx \;=\; \frac{1}{3}\int e^u\,du \;=\; \frac{1}{3}e^u + C \;=\; \frac{1}{3}e^{3x} + C $$
La substitution garantit que la dérivée interne est correctement prise en compte, rendant le résultat cohérent.
Intégration par parties
L’intégration par parties est utilisée lorsque l’intégrande est le produit de deux fonctions dont l’une a une dérivée connue et l’autre une primitive connue. La méthode découle directement de la règle du produit en différentiation, appliquée “à l’envers”.
Formule
$$ \large \int u\,dv \;=\; u \cdot v - \int v\,du $$
On choisit généralement \( \large u \) comme la fonction qui devient plus simple lorsqu’elle est dérivée, et \( \large dv \) comme la partie facile à intégrer.
Exemple 3 : Polynôme multiplié par une fonction exponentielle
Déterminer \( \large \int x e^x\,dx \)
On choisit \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) et \( \large dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \). On obtient :
$$ \large \int x e^x\,dx \;=\; x e^x - \int e^x\,dx \;=\; e^x(x - 1) + C $$
Exemple 4 : Produit de \( \large x \) et du cosinus
Déterminer \( \large \int x \cos x\,dx \)
On choisit \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) et \( \large dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x \) :
$$ \large \int x \cos x\,dx \;=\; x \sin x - \int \sin x\,dx \;=\; x \sin x + \cos x + C $$
Choix de la méthode
La substitution s’utilise lorsqu’une fonction interne apparaît avec sa dérivée, tandis que l’intégration par parties s’utilise lorsque l’intégrande est un produit et qu’aucune substitution directe n’est possible. Les deux méthodes se complètent et couvrent la majorité des intégrales usuelles.
Résumé
Ces techniques d’intégration étendent les règles de base. La substitution permet de traiter des fonctions composées en introduisant une nouvelle variable, tandis que l’intégration par parties permet de traiter les produits. Ensemble, elles rendent possible la résolution systématique des intégrales complexes.