Règles d’intégration
Pour résoudre les intégrales plus efficacement, il existe plusieurs règles de calcul similaires à celles de la dérivation. Elles permettent d’intégrer des expressions composées étape par étape sans revenir à la définition à chaque fois.
1. Règle du facteur constant
Une constante peut toujours être placée devant le signe d’intégration. Si \( \large k \) est une constante et \( \large f(x) \) une fonction, on a :
$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$
Exemple :
$$ \large \int 5x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \int x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C \;=\; \tfrac{5}{4}x^4 + C $$
2. Somme et différence
L’intégration se distribue sur l’addition et la soustraction. Cela signifie que chaque terme peut être intégré séparément :
$$ \large \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \;\pm\; \int g(x)\,dx $$
Exemple :
$$ \large \int (3x^2 - 2x + 4)\,dx \;=\; x^3 - x^2 + 4x + C $$
3. Règle de la puissance
La règle de la puissance est la formule la plus fondamentale et s’applique pour tout \( \large n \neq -1 \) :
$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
Exemple :
$$ \large \int x^4\,dx \;=\; \frac{x^5}{5} + C $$
4. Règle logarithmique
Lorsque l’exposant est \( \large -1 \), une règle spéciale s’applique, car la règle de la puissance ne peut pas être utilisée. Dans ce cas, le logarithme naturel apparaît :
$$ \large \int \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln|x| + C $$
5. Fonctions exponentielles
L’intégrale d’une fonction exponentielle de base \( \large e \) est à nouveau une fonction exponentielle :
$$ \large \int e^x\,dx \;=\; e^x + C $$
Si l’exposant est une fonction linéaire \( \large ax \), le résultat est ajusté par \( \large \frac{1}{a} \) :
$$ \large \int e^{ax}\,dx \;=\; \frac{1}{a}e^{ax} + C $$
6. Fonctions trigonométriques
Les intégrales les plus importantes du sinus et du cosinus sont :
$$ \large \int \sin x\,dx \;=\; -\cos x + C $$
$$ \large \int \cos x\,dx \;=\; \sin x + C $$
7. Fonctions composées (règle de la chaîne inversée)
Si la fonction contient une expression interne dont la dérivée apparaît à l’extérieur, on peut intégrer « à l’envers » en utilisant la substitution (qui sera abordée plus tard). Une forme simple est :
$$ \large \int f'(x)\,f(x)^n\,dx \;=\; \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C $$
Exemple :
$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$
Résumé
Les règles de calcul permettent de trouver des intégrales rapidement et avec précision. Les règles du facteur constant, de la somme et de la puissance sont utilisées dans presque tous les calculs. Elles constituent la base des méthodes plus avancées telles que la substitution et l’intégration par parties.