Intégrale indéfinie

L’intégrale indéfinie décrit le processus inverse de la différentiation. Alors que le calcul différentiel mesure comment une fonction change, le calcul intégral indique quelle fonction produit un certain taux de variation. Le résultat s’appelle une primitive.

Primitive et notation

Si une fonction $ \large F(x) $ a pour dérivée $ \large F'(x)=f(x) $, on dit que $ \large F $ est une primitive de $ \large f $. On écrit :

$$ \large \int f(x)\,dx \;=\; F(x) + C $$

Ici, $ \large C $ est la constante d’intégration, qui représente le fait que plusieurs fonctions différentes peuvent avoir la même dérivée. Cette constante n’affecte pas la pente, mais déplace la courbe verticalement.

Exemple 1 : Règle de la puissance

Trouver la primitive de $ \large f(x) = x^n $, où $ \large n \neq -1 $. On cherche une fonction $ \large F $ dont la dérivée donne $ \large x^n $. Cela donne :

$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

En ajoutant 1 à l’exposant et en divisant par le nouvel exposant, on obtient la primitive générale pour les puissances de $ \large x $.

Exemple 2 : Somme et facteur constant

Si la fonction comporte plusieurs termes, on peut intégrer chaque terme séparément. On a :

$$ \large \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx $$

$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$

Ces règles permettent de trouver les primitives d’expressions composées en travaillant terme par terme.

Exemple 3 : Calcul appliqué

Trouver la primitive de $ \large f(x) = 3x^2 - 4x + 1 $ :

$$ \large \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx \;=\; x^3 - 2x^2 + x + C $$

La fonction obtenue $ \large F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C $ a bien pour dérivée $ \large F'(x)=3x^2 - 4x + 1 $.

Vérification par différentiation

Une bonne façon de vérifier le résultat consiste à différencier de nouveau la primitive. Si l’on retrouve la fonction initiale $ \large f(x) $, le calcul est correct. Cela montre également que l’intégration et la différentiation sont des opérations inverses.

Signification de la constante d’intégration

La famille des intégrales indéfinies comprend une infinité de fonctions qui ne diffèrent que par une constante. La constante $ \large C $ a une signification géométrique : elle représente un déplacement vertical. Toutes les primitives ont la même forme mais se situent à différentes hauteurs dans le plan de coordonnées.

Résumé

L’intégrale indéfinie est utilisée pour trouver les primitives, c’est-à-dire les fonctions dont la dérivée correspond à une $ \large f(x) $ donnée. L’intégration « inverse » la différentiation. Chaque primitive ne diffère que par une constante, et la justesse peut toujours être vérifiée en différenciant le résultat.